Plus généralement, Gauss a démontré en 1801 les égalités suivantes au signe près pour tout entier n > 0 : conjecturant alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = exp(2πi/n), et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette conjecture[1],[2],[3]. , Par le lemme de Hensel, pour tout q, l'équation a = La somme de Gauss généralisée G(a, b, c) est définie par. {\displaystyle 4\psi (a)a\equiv 1{\bmod {c}}} On obtient donc : 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 ... 49 + 52 = 101 50 + 51 =101 Cela donne 50 som… n est le symbole de Legendre, qui est un caractère quadratique mod p. Une formule analogue avec un caractère général χ à la place du symbole de Legendre définit la somme de Gauss G(χ). + Line: 208 L'application de Fp* dans H qui à tout élément associe son carré est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents ; en conséquence : Or ψ est un caractère non trivial donc — comme dans la démonstration du § « Propriétés » — la somme 1 + P1 + P2 de ses valeurs est nulle, ce qui permet de conclure : Le corollaire du § « Propriétés » termine la démonstration. b n Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. Si c n'est pas sans facteur carré, alors le membre de droite s'annule mais pas celui de gauche. {\displaystyle 0\leq n 0 : conjecturant alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = exp(2πi/n), et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette conjecture[1],[2],[3]. ) En effet, la définition d'une somme de Gauss implique : G ( χ , ψ m ) = ∑ k ∈ F p ∗ χ ( k ) ψ ( m k ) . a ) nécessaire] On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique. prend exactement deux fois chaque valeur paire. File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Soit p un nombre premier impair et a un entier. Pour toute racine p-ième de l'unité ω différente de 1, avec p premier. χ Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, ∙), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par : En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp*. Notons τ = G(μ, ψ) et ω = ψ(1). 0 a Function: view, la méthode de Gauss pour calculer la somme des n premiers entiers, analyse harmonique sur un groupe abélien fini, groupe multiplicatif de ses éléments non nuls, Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Somme_de_Gauss&oldid=156620776. En effet, la définition d'une somme de Gauss implique : G ( χ , ψ m ) = ∑ k ∈ F p ∗ χ ( k ) ψ ( m k ) . ( n Line: 479 1 G b L'application de Fp* dans H qui à tout élément associe son carré est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents ; en conséquence : Or ψ est un caractère non trivial donc — comme dans la démonstration du § « Propriétés » — la somme 1 + P1 + P2 de ses valeurs est nulle, ce qui permet de conclure : Le corollaire du § « Propriétés » termine la démonstration. , Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Sans le savoir encore, Gauss a découvert la formule permettant de calculer la somme des termes d’une série arithmétique. Une somme quadratique de Gauss peut être interprétée comme une combinaison linéaire des valeurs de la fonction exponentielle complexe avec des coefficients donnés par un caractère quadratique ; pour un caractère général, on obtient une somme de Gauss plus générale. Line: 315 Function: require_once, Message: Undefined variable: user_membership, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php / n En théorie des nombres, une somme quadratique de Gauss est une certaine somme finie de racines de l'unité. b Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, H le sous-groupe du groupe multiplicatif Fp* composé des résidus quadratiques de Fp*, P1 la somme des valeurs de ψ sur H et P2 la somme des valeurs de ψ sur le complémentaire de H dans Fp*. Sommes quadratiques de Gauss généralisées, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Somme_quadratique_de_Gauss&oldid=161416843, Article contenant un appel à traduction en anglais, Article contenant un appel à traduction en allemand, Portail:Arithmétique et théorie des nombres/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, L'évaluation de la somme de Gauss peut être réduite au cas, La valeur exacte de la somme de Gauss, calculée par Gauss, est donnée par la formule, Les sommes de Gauss sont multiplicatives au sens suivant : étant donnés des entiers naturels. q + Si b est impair, alors n {\displaystyle G (\chi ,\psi ^ {m})= {\frac {1} {\chi (m)}}G (\chi ,\psi ).} 0 Cette seconde propriété possède le corollaire immédiat suivant : Si μ(a) désigne le symbole de Legendre (a/p) — égal à 1 si a est un carré dans Fp* et à –1 sinon — alors, pour tout caractère ψ non trivial. . ) Pour toute racine p-ième de l'unité ω différente de 1, avec p premier. La somme de Gauss classique est la somme + {\displaystyle G(a,b,2^{n})=0} ( , a ≡ 2 , ) ( La dernière modification de cette page a été faite le 30 juillet 2019 à 23:59. Puisque les deux membres sont égaux à 1 ou –1 et que 2 est inversible mod q, cette congruence est une égalité. . . Function: _error_handler, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_harry_book.php c a au plus deux solutions dans p = où {\displaystyle \psi (a)} Sommes quadratiques de Gauss généralisées. Line: 192 n Z En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs. ) G ( a , b , c ) = ∑ n = 0 c − 1 exp ( 2 π i a n 2 + b n c ) {\displaystyle G (a,b,c)=\sum _ {n=0}^ {c-1}\exp \left (2\pi \mathrm {i} {\frac {an^ {2}+bn} {c}}\right)} . a b ) Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. ( Function: _error_handler, Message: Invalid argument supplied for foreach(), File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php 4 Somme de Gauss En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l' analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/ p ℤ où p désigne un nombre … La somme de Gauss généralisée G(a, b, c) est définie par. La formule du binôme de Newton et les diviseurs des coefficients binomiaux montrent que modulo q, Or la première des deux propriétés des sommes de Gauss montre que, et le corollaire de la seconde, joint aux propriétés du symbole de Legendre, que. En effet, il remarqua que, en additionnant les premier et dernier termes, on obtenait 101, de même qu'en additionnant le deuxième et l'avant dernier, le troisième et l'avant avant dernier et ainsi de suite. {\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} } < {\displaystyle G (\chi ,\psi ^ {m})= {\frac {1} {\chi (m)}}G (\chi ,\psi ).} c Line: 107 p − est le symbole de Jacobi. 1 ( ( p ψ Comme autre exemple, si 4 divise c et si b est impair et pgcd(a, c) = 1, alors G(a, b, c) = 0. Function: view, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair, distinct de p : Soit ψ un caractère additif non trivial de Fp. n Soit a, b et c des entiers naturels. ∑ {\displaystyle an^{2}+bn{\bmod {c}}} Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, ∙), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par : En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp*. {\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right)} ) SÉRIES DE GAUSS Les séries arithmétiques de Gauss sont l'expression de la somme de n premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée sous une forme condensée. est pair pour tout Alors, la somme de Gauss mod p, g(a ; p), est la somme de racines p-ièmes de l'unité suivante : Si a n'est pas divisible par p, une expression équivalente pour cette somme (que l'on trouve en évaluant c Cette seconde propriété possède le corollaire immédiat suivant : Si μ(a) désigne le symbole de Legendre (a/p) — égal à 1 si a est un carré dans Fp* et à –1 sinon — alors, pour tout caractère ψ non trivial. Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, H le sous-groupe du groupe multiplicatif Fp* composé des résidus quadratiques de Fp*, P1 la somme des valeurs de ψ sur H et P2 la somme des valeurs de ψ sur le complémentaire de H dans Fp*. b ( ψ {\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\left(1+\left({\frac {n}{p}}\right)\right)\zeta _{p}^{an}} 2 mod mod {\displaystyle an^{2}+bn+q=0} = 0 a n si n > 1 et a, b sont impairs et pgcd(a, c) = 1. Ainsi, dans l'évaluation des sommes quadratiques de Gauss, on peut toujours supposer pgcd(a, c) = 1. c
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