Une matrice colonne est une matrice dont le nombre de colonnes est égal à 1. La matrice unité de dimension n est la matrice carrée de dimension n qui contient des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs : A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}. \left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 3x+4y=1 \\ 5x+7y=2 \end{matrix}\right. Devoir surveillé numéro 2: ds2 spé maths as 2016-2017. - 12 03 2013, Bac blanc n°2 : Congruence, Eq. Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tout les coefficients situés en dehors de la diagonale principale sont nuls. 1. Soient A une matrice et k un nombre réel.. 1) Rendu DS sur les suites. Blanc n°2 : matrices, suites - 05 05 2015, Bac diophantienne 19 02 2020, Bac blanc n°1 : Gauss, Nbres premiers - 01 03 2016, Bac blanc n°1 : Nbres premiers - 24 02 2015, Bac blanc n°1 : Vrai,Faux arithm. A la calculatrice, on trouve que A est inversible d'inverse A^{-1}=\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}. L'écriture matricielle est alors A\times X=B. On ne peut additionner deux matrices que si elles ont les même dimensions, c'est à dire le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. Pour cette formule, la matrice ligne doit être impérativement en premier ! Enoncé du DM 4 à rendre pour le 10 Janvier : dm4 spé maths as 2016-2017. La matrice unité d'ordre 2 est I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Soient A, B et C trois matrices de mêmes dimensions et k et k^{\prime} deux réels. Le produit de A par B est le nombre réel : A\times B = \left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)\times \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n}. Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Par contre, le produit d'une matrice 2\times \color{red}{3} par une matrice \color{red}{2}\times 3 n'est pas possible. algo division euclidienne dans Z exempt d’erreur, corrigé dm final spé maths TS as 2016-2017, Cours Première, enseignement de spécialité Mathématiques, Cours Enseignement de Spécialité Terminale, Devoir Première enseignement de spécialité, Devoir Terminale enseignement de spécialité, Le parcours Prépa de l’Université d’Avignon. Une matrice ligne est une matrice dont le nombre de lignes est égal à 1. La matrice A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} est une matrice carrée (de dimension 2\times 2 - ou on peut dire, plus simplement, de dimension 2). Théorèmes de Bezout et Gauss, 36 contrôles et 6 bac blancs en support papier(obligatoire et spé) de 2015 à 2018, 40 contrôles et 6 bac blancs en support papier(obligatoire et spé) de 2012 à 2015, Ctrle : diviseurs et congruence 08 11 2018, Devoir : mult, division et congruence 10 11 2017, Devoir diviseurs et congruence 03 11 2016, Ctrle : diviseurs et congruence 19 11 2015, Ctrle : diviseurs et congruence 04 11 2014, Ctrle : diviseurs et congruence 05 11 2013, Ctrle : diviseurs et congruence 23 10 2012, Ctrle : Diviseurs et congruence 11 10 2011, Ctrle : Diviseurs et congruence 18 10 2010, Ctrle div. C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\color{red}{-1} & 0 & 2 \\ \color{red}{-2} & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{red}{-10} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}. Notations […] La somme A+B des matrices A et B s'obtient en ajoutant les coefficients de A aux coefficients de B situés à la même position. Soient A=\left(a_{ij}\right) une matrice n\times p et B=\left(b_{ij}\right) une matrice p\times q. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies. où I_{n} est la matrice unité de dimension n. La matrice B est appelée matrice inverse de A et notée A^{-1}. La matrice A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} est une matrice diagonale d'ordre 4. Soit A, B et C, trois matrices carrées de même dimension. Enoncé du DM 3 à rendre pour le mardi 13 Décembre : dm3 spé maths as 2016-2017, Corrigé du DM 3 : corrigé dm3 spé as 2016-2017, Devoir surveillé numéro 2 : ds2 spé maths as 2016-2017, Corrigé du DS 2 : corrigé ds2 spe maths ts, Enoncé du DM 4 à rendre pour le 10 Janvier : dm4 spé maths as 2016-2017, Devoir surveillé numéro 3 :ds3 ts spé as 2016-2017, Corrigé du DS 3 : corrigé ds3 spé as 2016-2017, Enoncé du DM 5 à rendre pour le 31 Janvier : dm5 spé maths, Corrigé du DM 5 : corrigé dm5 spé maths as 2016-2017, Enoncé du DM 6 à rendre pour le 28 Février : dm6 spé maths as 2016-2017, Corrigé de l’exercice se spécialité du bac blanc : corrigé exercice spé TS bb 2017, Corrigé du DM6 : corrigé dm6 spé maths ts, Enoncé du DM7 à rendre pour le 28 Mars : dm7 spé maths TS as 2016-2017, Corrigé du DM 7 : corrigé dm7 spé as 2016-2017. Si l'on pose A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}, le système \left(S\right) peut s'écrire : A\times X=B. A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0,5 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 & 4 \\ 2 & \color{red}{3} & 4 & 5 \\ 3 & 4 & \color{red}{5} & 6 \\ 4 & 5 & 6 & \color{red}{7} \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}, A+B=\begin{pmatrix}2-1&-2+1&1+1\\-1-2&1+2&0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\-3&3&0\end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, 2A=\begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 1 & 2\times 0 \\ 2\times 2 & 2\times 0 & 2\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix}, -A=-1\times A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \left(k+k^{\prime}\right)A = kA+k^{\prime}A, k\left(k^{\prime}A\right) = \left(kk^{\prime}\right)A, B=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix}, A\times B = \left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)\times \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n}, B=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, A\times B = 1\times 5 + 2\times 6 + 3\times 7 + 4\times 8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70, c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}, A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, 2\times \color{red}{3} \rightarrow \color{red}{2}\times \color{red}{3}, C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \color{red}{-1} & 0 & 2 \\ \color{red}{-2} & 1 & 0\end{pmatrix}, c_{11}=2\times \left(-1\right)+4\times \left(-2\right)=-2-8=-10, C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\color{red}{-1} & 0 & 2 \\ \color{red}{-2} & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{red}{-10} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1 & \color{red}{0} & 2 \\ -2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1 & \color{red}{0} & 2 \\ -2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & \color{red}{4} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & 4 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, A\times \left(B+C\right) = A\times B + A\times C, \left(A+B\right)\times C = A\times C + B\times C, A\times \left(B\times C\right) = \left(A\times B\right)\times C, A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, A \times B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B \times A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. X=A^{-1}\times B=\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix}. Eq. Le théorème ci-dessous permet alors de résoudre ce système. Les élèves en sortie ou en voyage sont priés de rattraper le cours du 18/10 et de se le faire scanner. A^{n}=A\times A\times \cdots.\times A (n facteurs). Soit A une matrice carrée et n un entier naturel. Par exemple, le produit d'une matrice 2\times \color{red}{3} par une matrice \color{red}{3}\times 4 est possible et donnera une matrice 2\times 4. Merci Geoffroy ! -A=-1\times A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Sujet de l'interrogation: DS_TES_spe__MATRICES . Enoncé du DM 2 à rendre pour le Mardi 8 Novembre : dm2 spé maths as 2016-2017, Corrigé du DM 2 : corrigé dm2 spé maths ts as 2016-2017. On définit de manière analogue la différence de deux matrices. Le produit kA est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de A par k. Si A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} alors : 2A=\begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 1 & 2\times 0 \\ 2\times 2 & 2\times 0 & 2\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix}. C'est à dire que pour tout 1 \leqslant i \leqslant n et tout 1 \leqslant j \leqslant q : c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}. Le produit de A par B est la matrice C=\left(c_{ij}\right) à n lignes et q colonnes dont le coefficient situé à la i-ième ligne et la j-ième colonne est obtenu en multipliant la i-ième ligne de A par la j-ième colonne de B. C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1 & \color{red}{0} & 2 \\ -2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & \color{red}{4} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}. Congruence, 2-PGCD et PPCM. DS ET DL 2016-2017 DLn°1 : dln1 problème 1 : Familles libres , bases dans l'espace vectoriel des suites ; Matrice semblable à une matrice à diagonale nulle. A la dernière ligne de l’avant dernière page, il y a une coquille : il faut lire : PD^(n+1)P^-1 au lieu de PD^nP^-1. Une matrice de dimension (ou d'ordre or de taille) n\times p est un tableau de nombres réels (appelés coefficients ou termes) comportant n lignes et p colonnes. Voici un rectificatif qui donne cet algorithme sans erreur de codage : algo division euclidienne dans Z exempt d’erreur. Devoir surveillé numéro 3: ds3 ts spé as 2016-2017. A+B=\begin{pmatrix}2-1&-2+1&1+1\\-1-2&1+2&0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\-3&3&0\end{pmatrix}. 40 contrôles et 6 bac blancs en support papier(obligatoire et spé) de 2012 à 2015, 1-Multiples. 02 05 2018, Bac eucl., congruence, PGCD, Bézout 27 11 2019, Ctrle : congruences,pgcd et Bézout 01 12 2017, Devoir : pgcd, Bézout et Gauss 05 01 2017, Ctrle : congruence, pgcd et Bézout 24 11 2016. A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Corrigé du DS 2: corrigé ds2 spe maths ts. Corrigé du DM 4: corrigé dm4 spé maths. Sur l'exemple ci-dessous, les coefficients de la diagonale principale sont marqués en rouge : A=\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 & 4 \\ 2 & \color{red}{3} & 4 & 5 \\ 3 & 4 & \color{red}{5} & 6 \\ 4 & 5 & 6 & \color{red}{7} \end{pmatrix}. Faites bien attention aux dimensions des matrices : Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde pour que le calcul soit possible. La matrice C=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} est une matrice colonne (de dimension 4\times 1). On notera, en abrégé, A=\left(a_{ij}\right) la matrice dont le coefficient situé à la i-ème ligne et la j-ième colonne est a_{ij}. Soit A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. La matrice B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0,5 \end{pmatrix} est une matrice ligne (de dimension 1\times 3). eucl., congruence, PGCD, Bézout 27 11 2019, Devoir PGCD. Par contre en général : A\times B\neq B\times A : la multiplication n'est pas commutative. Blanc n°2 : matrices, suites - 22 04 2014, Bac Pour une matrice carrée, on appelle diagonale principale, la diagonale qui relie le coin situé en haut à gauche au coin situé en bas à droite. Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Notons C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{pmatrix}. \left(S\right) \left\{ \begin{matrix} ax+by=s \\ cx+dy=t \end{matrix}\right. blanc n°2 : matrices, page web - 07 05 2013, Ctrle : Diviseurs et congruence 08 11 2018, Devoir : mult., division et congruence 10 11 2017, Devoir : Diviseurs et congruence 03 11 2016, Ctrle : Diviseurs et congruence 19 11 2015, Ctrle : Diviseurs et congruence 04 11 2014, Ctrle : Diviseurs et congruence 05 11 2013, Ctrle : Diviseurs et congruence 23 10 2012, Div. Pour calculer c_{11} on multiplie la première ligne de A et la première colonne de B : C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \color{red}{-1} & 0 & 2 \\ \color{red}{-2} & 1 & 0\end{pmatrix} ; on a donc c_{11}=2\times \left(-1\right)+4\times \left(-2\right)=-2-8=-10. La matrice nulle de dimension n\times p est la matrice de dimension n\times p dont tous les coefficients sont nuls. Corrigé du DS 3: corrigé ds3 spé … Si A=\left(1 2 3 4\right) et B=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} : A\times B = 1\times 5 + 2\times 6 + 3\times 7 + 4\times 8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70. 36 contrôles et 6 bac blancs en support papier(obligatoire et spé) de 2015 à 2018 Par convention, on considèrera que A^{0} est la matrice unité de même taille que A. Une matrice carrée A de dimension n est inversible si et seulement si il existe une. A\times \left(B+C\right) = A\times B + A\times C (distributivité à gauche), \left(A+B\right)\times C = A\times C + B\times C (distributivité à droite), A\times \left(B\times C\right) = \left(A\times B\right)\times C (associativité de la multiplication).
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