0000073398 00000 n endobj 0000027084 00000 n Regroupons les puissances 4. endobj Si lâon met (½)â´ en facteur, il nous reste à développer lâexpression à la puissance 4 en utilisant la formule du binôme de Newton. 0000035936 00000 n /Filter /FlateDecode → ! endstream stream 0000073740 00000 n 23 0 obj /BBox [0 0 100 100] Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton Objectif : montrer par récurrence que ! endobj /FormType 1 (a+b)n= n Ck k=0 n "a kbn# sera noté ! /FormType 1 1) Calculer n 0 + n 1 +...+ n n . 0000072639 00000 n /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> On obtient : Il faut enjoliver cette espèce de magma inesthétique qui est multiplié par 4. << ]���o������6i�`g��)��9t�Yj誠��P�]m1屮��Gׅ ]��t��o�]k~ӰAW� Notamment, on démontre grâce à lui que la fameuse suite un = (1 + 1 / n)â¿ ayant e pour limite est croissante (voir par exemple « Mathématiques pour lâéconomie » (Naïla Hayek, Jean-Pierre Leca), Dunod 2007 p 75). … /Resources 29 0 R << endstream /Matrix [1 0 0 1 0 0] Combinaison Une ´epreuve de Bernoulli est une exp´erience al ´eatoire `a deux issues possibles (par exemple « succ`es » et « ´echec »). /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 20.00024 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> Répondre. �� ��3!��{x�pa���RA ��Hh������K��=�(a�M��d�A�Xi{%�f1��7S�AÃ�Oqh#���^�jc*��y�����'�@��x�����ȡI�,���`��CZN������]}���$"d?z�8&���bOl��&��L`����$�`��C�ż@�d��R*��b��=�\2����m���%��^@^� >> /Subtype /Form >> << 0000002647 00000 n x���P(�� �� /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Group 58 0 R << >> /Length 15 ]� � /Length 15 /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0.0 0 100.00128 0] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> ]��N���&e�������>���u����е�q0� 0000065731 00000 n << ]5&��(�%�. �*=R�[�AO��е#��=��ѠBW� 62 0 obj Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même. /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Subtype /Form 28 0 obj << /Linearized 1 /O 30 /H [ 1883 557 ] /L 120586 /E 80411 /N 4 /T 119908 >> endobj xref 28 74 0000000016 00000 n /Length 744 0000001883 00000 n 0000079784 00000 n 5 réflexions sur “ Exercices sur le binôme de Newton ” Aline dit : 22 octobre 2015 à 21 h 24 min Comment te dire cela simplement… : Tu es tout simplement génial merci merci merci :)!!! 60 0 obj << k!(n"k)! Le binôme de Newton * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice no 1. /Subtype /Form �ҞU����RE��q���j��.��.ʂ��;�,�;,�}�L�.m�x��d��CIci=��K0%$��Rs�%��9N�f瀥s\r6j�Mvf�Y2+��p�݂A�F�X�Y�/�(����ͧ�n�����\F�6�ю���`ep���{����f�y��N�Gutq�{m����ӵ 竓,]������j�k��p�-�����ɽ)H���5=�~2�d�1J�sm�W>�4�a��4�+4 �hF�O;�h"�>tf�8>���.�M�Iükim��ۋz����4�-a���x���2���X��o>�N ����%��M?����n�U���ި8s�> Posons S 1 =å E(n=2) k=0 /Matrix [1 0 0 1 0 0] Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux matrices, etc.) >> 0000068271 00000 n 0000058142 00000 n (Factorielle) /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Filter /FlateDecode 12 0 obj 38 0 obj Certes, la ligne est un peu longue. 15 0 obj 66 0 obj 0000072309 00000 n /BBox [0 0 100 100] endobj 0000002418 00000 n stream /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0 1] /Coords [4.00005 4.00005 0.0 4.00005 4.00005 4.00005] /Function << /FunctionType 2 /Domain [0 1] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> /Extend [true false] >> >> x���P(�� �� /FormType 1 endobj endobj x���P(�� �� endstream On a de façon générale : Le coefficient de est donc ˘ˇ ˆˆ On a de façon générale : ˙ Le terme s’obtient quand ˝. /ProcSet [ /PDF ] 0000061605 00000 n >> 0000053054 00000 n (Combinaison) ]a5t�6���vAm{����I���za-���ECW� << stream EnoncØ des exercices 1.1. endstream 14 0 obj /ProcSet [ /PDF ] /Type /XObject 0000054167 00000 n Dâabord, chaque membre de lâaddition se situe à un degré de puissance 5. 0000029615 00000 n endobj ]�>��[M�G����E״m[��z��L��k���BW�;�@uV�W;KAW� x���P(�� �� 0000009007 00000 n << /S /GoTo /D (Outline0.2) >> 0000003957 00000 n Nous avons (e2ix + e-2ix) qui est égal à 2 cos 2x et (e4ix + e-4ix) qui est égal à 2 cos 4x. endobj /BBox [0 0 8 8] endobj … /Height 413 61 0 obj /Subtype /Form endstream endstream 0000009411 00000 n 0000069268 00000 n Si (a, b) ∈ R 2 et n ∈ N, alors : /Width 1831 54 0 obj /Filter /FlateDecode /Matrix [1 0 0 1 0 0] 10 0 obj /BBox [0 0 100 100] /Type /XObject << /S /GoTo /D (Outline0.5) >> Le binôme de Newton est une formule de mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> /FormType 1 endobj /FormType 1 stream Énoncé. /Length 15 %���� >> /Type /XObject Prenez par exemple n = 6 et additionnez les valeurs de la ligne : 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26. En simplifiant par 2, nous arrivons au bout de nos peines . << 11 0 obj 0000003505 00000 n endobj 63 0 obj ]s����EW�]�+t�,��k�L8tU��B�.��r�@W� On y va décidément pas à pas. /Subtype /Form 49 0 obj x���P(�� �� endobj Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même.L'un des buts du jeu est de développer l’identité remarquable (a + b)ⁿ.Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme). 0000062497 00000 n << Formule du binôme de Newton. 0000073874 00000 n 29 0 obj 53 0 obj endobj La formule est évidemment celle du binôme mais généralement on ne retient pas toutes les possibilités de 0 à n et, du coup, on ne développe pas (a + b)â¿. << 37 0 obj endobj x���P(�� �� /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 21.25026 23.12529 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> Vous avez tous appris aucolì ege les fameuses "identités remarquables" (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ou (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , et il est essentiel de savoir ces formules par coeur, ´ etant donné la multitude de cas o` u on On a donc comme coefficient de ce terme : ˙ ˝ ˛ ˆ ˙ �BW�����멭]��Tt�߶�5]��{��BW誠�>j�2��UAW� ]t�A�T��*v����BW� /Matrix [1 0 0 1 0 0] /BitsPerComponent 8 /ProcSet [ /PDF ] !��_�szf6g���Ȓ��'˲�sP�Y��D���5 ]��1��;e��-t��е/��E� Binˆome de Newton Aim´e Lachal. endobj >> 0000014920 00000 n /Resources 64 0 R /Resources 62 0 R x��VYk1~�_���������R << 25 0 obj (Applications trigonom\351triques) << ]�kt ݶG�!tͿ��fؠ+t��ڄ�Nהy���c]�+t}���е�4BW�Zmޚ:X��]7t���U�0��i�2��U��+t��G�擩����BW�:] t���U�0���2��UAW� On a (a+b)n = Xn k=0 n k akbn k. Démonstration : 1. initialisation : Pour n = 0, on a : (a+b)0 = 1 et X0 k=0 0 k akbn k = 0 0 a0b0 0 = 1. Appliquons à nouveau la formule dâEuler. /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> 0000053286 00000 n /Length 15 0000027387 00000 n endobj 0000054369 00000 n endstream /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [8.00009 8.00009 0.0 8.00009 8.00009 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> 0000002440 00000 n 0000008792 00000 n 0000009804 00000 n endstream >> 0000030021 00000 n 0000052874 00000 n << << 13 0 obj (Application aux probabilit\351s) Théorème (formule du binôme de Newton) : Soit (a;b) 2R2 et n 2N. 32 0 obj /Filter /FlateDecode /Subtype /Form /ProcSet [ /PDF ] >> stream x���]n,G�Pme�YW��g#��n_We�9��-)+�HU�M��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4ȏ������)�wT�ߠ+\�P�]EDDDDDDD!V+�UDDDDDDD�`0ee�]EDDDDDDDQV+�UDDDDDDD�`0k�]E�ۘ����eYD�}O=DD�V��W�|DD��y� �.�&"�n}��ѣHɓ�����3fL�=��լ������qѭ?�m�Ƹ�^;�ο��[J�5���Rg�F��ֻ5��g�r6i�M �:w83"3 �L�a��~����=�f3t������}��ƣ��!4l��BWM��ɑ���Yt���5]��wwt���������E>ޟp��2s�BW� /Filter /FlateDecode /ProcSet [ /PDF ] 57 0 obj 0000053795 00000 n 0000073662 00000 n /Filter /FlateDecode /Type /XObject Heureusement, la formule du binôme de Newton permet d'obtenir facilement l'expression finale. Par commodité, rappelons ici un extrait de ce fameux triangle. /FormType 1 0000058163 00000 n x���P(�� �� /Type /XObject x���P(�� �� /Matrix [1 0 0 1 0 0] /FormType 1 >> On le vérifie également sur ce triangle décidément magique. 0000014328 00000 n endobj >> %PDF-1.5 0000008427 00000 n 16 0 obj >> endobj Notamment, si lâon applique une règle algébrique très basique des exponentielles (et des puissances en général), on remarque que (eix)²(e-ix)² peut sâécrire e2ix à e-2ix, soit e0, soit 1. 0000001828 00000 n 26 0 obj /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 100.00128] /Coords [0 0.0 0 100.00128] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 100.00128] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [0 0 0] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 100.00128] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> ] /Bounds [ 25.00032 75.00096] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> %PDF-1.2 %���� Alcas dit : 17 avril 2016 à 17 h 57 min Je crois que vous avez écrit n au lieu de n-1 en haut du signe somme dans la vidéo de … << 59 0 obj 46 0 obj 0000003305 00000 n /BBox [0 0 5669.291 8] /Type /XObject /Length 15 Selon une formule dâEulerâ¦. /Subtype /Form 2. hérédité : On suppose que pour un rang n 2N quelconque, la formule est vraie. On voit que lâon peut factoriser ceci par eixe-ix câest-à -dire, ici encore, par 1. 42 0 obj << /S /GoTo /D [55 0 R /Fit] >> 2. endobj >> Voir aussi la démonstration de la page additivité de la loi de Poisson. stream 0000059855 00000 n /FormType 1 g�����Rjh��0~����v�Guڿ����5�_(Rr�W�R3�}�i���AR*��y�P����9��̛�u�wל�mZ��F�� /ProcSet [ /PDF ] endobj >> Un sch´ema de Bernoulli est une r´ep ´etition d’ ´epreuves de n Ck= n! /Filter /FlateDecode ]�+��Wn}� �BW� �&j�2��UAW� >> H�\Q�j�0��+����lՉ]0��R0!mh��im�,d�Vv�A�h���;�/���� �Zm��q��D�a� d��~�E�}c����. >> 0000062476 00000 n 0000059164 00000 n endobj /Filter /FlateDecode Mais maintenant que le binôme nous a montré ses bienfaits, nous pouvons réduire un peu lâexpressionâ¦. /Type /XObject "n#$,(a+b)n= n Ck k=0 n %a kbn& Notations : ! 0000061626 00000 n /Resources 60 0 R 0000069112 00000 n endobj Enfin, nous constatons que b est négatif. << /ColorSpace /DeviceRGB Euh⦠concrètement ? 0000071183 00000 n /Length 14899 0000071408 00000 n 0000068250 00000 n /Filter /FlateDecode 0000037238 00000 n /FormType 1 Vous pouvez développer le produit, mais vous allez avoir beaucoup de mal. /Subtype /Image /Subtype /Form 17 0 obj Par ailleurs, factorisons par 4 dans les deuxième et quatrième termes. L'un des buts du jeu est de développer lâidentité remarquable (a + b)â¿. Dans la mesure où le triangle de Pascal se construit par récurrence, le binôme ne peut être totalement insensible aux joies des suitesâ¦. /Type /XObject >> 0000054570 00000 n endstream x���P(�� �� 0000063373 00000 n endobj Soit n ∈ N et Pn (x)=(x+1) n −(x−1)n.Quel est le degrØ de P n, quel est son coefficient dominant? 0000009208 00000 n 41 0 obj 0000036528 00000 n 0000014743 00000 n Nous voyons également que les coefficients multiplicateurs sont les nombres relevés sur la ligne n = 5 du triangle de Pascal, câest-à -dire 1-5-10-10-5-1. 0000002962 00000 n 50 0 obj 31 0 obj /FormType 1 45 0 obj /Resources 26 0 R /Length 15 >> >> /ProcSet [ /PDF ] /Length 15 /Length 15 /Type /XObject /Resources 13 0 R 0000052669 00000 n /Parent 72 0 R /Type /XObject 0000059653 00000 n /Shading << /Sh << /ShadingType 3 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 50.00064] /Coords [50.00064 50.00064 0.0 50.00064 50.00064 50.00064] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 50.00064] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [1 1 1] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [1 1 1] /C1 [0 0 0] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 50.00064] /C0 [0 0 0] /C1 [0 0 0] /N 1 >> ] /Bounds [ 22.50027 25.00032] /Encode [0 1 0 1 0 1] >> /Extend [true false] >> >> 0000006398 00000 n /Type /XObject 22 0 obj >> stream DØnombrement, binôme de Newton 1. 0000043643 00000 n /Filter /FlateDecode {����aؠ+t��Z��Q���$� 0000059474 00000 n 2. ]��!h��)c]��BW���NB�[]�kt���.6� endobj �.�����@&! 2. /ProcSet [ /PDF ] ]9t����BW]� ��8ED�2�]��6t�j�+t���5a�B�q��6� x���P(�� �� ]�+t�� << endobj stream Par exemple, si lâon ne recense que les possibilités dâobtenir 3 succès sur 10 tirages et que la probabilité de succès est égale à 0,4, la formule nâest pas une somme puisque k est égal à 3 et le résultat ne sera quâun « extrait » de la forme développée plus haut, soit 120 à (0,4)³ à (0,6)7. 0000065056 00000 n Nous trouvons donc le signe « moins » sur les puissances impaires de b. Intéressons-nous à présent à un cas particulier de a et de b. Si a = b = 1, la formule du binôme devient tout simplement⦠lâexpression des puissances de 2 (puisque les coefficients ne multiplient que des 1). Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme). >> 0000035733 00000 n (IT) Identités combinatoires (la difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable). << endobj << 34 0 obj /Resources 11 0 R 0000064206 00000 n Applications du binôme de Newton. trailer << /Size 102 /Info 27 0 R /Root 29 0 R /Prev 119898 /ID[<55bfbeec4241e3f49fc2e2a0e98dd289><55bfbeec4241e3f49fc2e2a0e98dd289>] >> startxref 0 %%EOF 29 0 obj << /Type /Catalog /Pages 26 0 R >> endobj 100 0 obj << /S 387 /Filter /FlateDecode /Length 101 0 R >> stream 28 0 obj 0000003708 00000 n qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx) et un entier naturel n, alors. La loi binomiale : avec un nom pareil, on se doute bien quâil y a un petit air de famille⦠Voici un autre cas particulier des paramètres a et b. Il sâagit cette fois-ci de deux probabilités complémentaires (leur somme est égale à 1). endobj 0000065526 00000 n HR n (hypothèse de récurrence) ! n=0 k! /ProcSet [ /PDF ] << endobj /Filter /FlateDecode /Matrix [1 0 0 1 0 0] >> /Resources 15 0 R << /S /GoTo /D (Outline0.3) >> x���P(�� �� << /Shading << /Sh << /ShadingType 2 /ColorSpace /DeviceRGB /Domain [0.0 8.00009] /Coords [0 0.0 0 8.00009] /Function << /FunctionType 3 /Domain [0.0 8.00009] /Functions [ << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [1 1 1] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> << /FunctionType 2 /Domain [0.0 8.00009] /C0 [0.5 0.5 0.5] /C1 [0.5 0.5 0.5] /N 1 >> ] /Bounds [ 4.00005] /Encode [0 1 0 1] >> /Extend [false false] >> >> stream endobj 0000043846 00000 n /SMask 73 0 R endstream << 0000049507 00000 n ]�����S�`CW屮���D�S���6����ٶ��n6� /Matrix [1 0 0 1 0 0] /BBox [0 0 100 100] 0000072618 00000 n ]����:����BW]�+t�D�_����Bך�zq۾w���A�u���9l��BW=bڧ���n�c]�+t}�7��t����~�=עk���a�a��AW� /Subtype /Form 0000071387 00000 n stream Les basiques 1. << /BBox [0 0 100 100] ]�k�U endstream /BBox [0 0 100 100] /Resources 23 0 R H�b```f``�f`g`�~� Ȁ �@1v�6 go���w�L6eR ��E6� ��2=?�Xy�U|:',l�3��jtޭ߬�X��Y/����X-�jʼ#�|,AJ*�L��W��Xt�i�B���d�v)��K�O�kI��+ntu�צ�b�^�P��*�o4����
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