Ainsi, reprenons les expressions démontrées avant: que nous pouvons écrire de manière équivalente sous la forme: et écrivons encore cela pour des besoins ultérieurs sous la forme Définition pour une fonction périodique de période 2L (L > 0). infinie et une puissance moyenne nulle (cf. en plusieurs signaux d'amplitudes et de fréquences distinctes. sur une période T=2 et d'amplitude A tel que: A la période T=2 correspond comme nous le savons une pulsation: Calculons en premier lieu les coefficients à l'aide Mais avant de commencer exposons les Le spectre d'amplitude et de phase se calcule selon les relations: Il est alors relativement aisé de remarquer que si T tend que nous visualisons sur un graphique par des lignes verticales. rencontrons dans les problèmes physiques. chaque définition (nous intégrons sur tous les ou possibles). peut être calculé selon cette relation car on peut voir que si k = chapitre d'Électrocinétique). de l'intégrale permettant de déterminer ces coefficients et de période , abusivement que les coefficients représentent En analyse mathématique, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. de Fourier". Il Expression des coefficients forme réelle. (cf. : Les physiciens ont eux pour habitude de noter ces relations sous relation: D2. est égale à la somme des coefficients de Fourier au carré. de notre étude intégrales suivantes Ainsi, il vient: D1. Pour ce qui est des nombres impairs, nous aurons: Il y a un seul hic dans cette relation, le coefficient ne C'est-à-dire: Dans cette situation, nous avons d'abord le cas particulier k où est nul. Expression des coefficients des séries de Fourier 3.1. Si f est impaire, nous procédons de la même manière la forme suivante : Cette décomposition possible de toute fonction périodique convergent vers f(x) dans l'intervalle [0, T], Si la série converge, sa somme est une fonction périodique f(x) en mettant le même coefficient dans les deux sens, qui sera par du moins impossible. et, Avant de continuer, démontrons la valeur que prennent ces implicitement dépendant de il discret (DTFT), que nous verrons un peu plus loin, qui n'a nul Ce graphique représente le spectre en fréquence du signal décomposé. question de vocabulaire auquel il faut s'habituer. Si la fonction F(x) est à valeurs dans R,ilestnaturel de vouloir la développer en série sous forme réelle et non sous la forme complexe de la série de Fourier (cf prochaine section). notre signal 128 fois (MS Excel a besoin de échantillons). Dès lors, pour la situation où k est SÉRIES DE FOURIER 7 3. comme nous l'avons vu dans le chapitre de calcul vectoriel, nous trigonométriques): est alors majorable et peut être intégrée terme à terme les termes qui sont nuls tel que: 2. chapitre de calcul Différentiel classe de fonctions plus générale. Prenons un autre exemple identique au précédent mais sous de représenter toutes les fréquences contenues dans Cela signifie quantique: Pour que les choses soient peut-être plus claires, montrons de de 0 à exemple . est toujours nul. Prenons comme exemple, un signal à onde carrée périodique défini Pour faire la différence entre la fonction donnée 0 pour n pair et vaut pour n impair. en série de Fourier, nous pouvons connaître la puissance de ce toujours nulle si n et k sont différents. Encore une fois... (bientôt au bout...) pour cardinal (si nous prenons le module au carré) de la décomposition nous les noterons dorénavant différemment. \���j��^m��q� �&��Ma���ENh�Q�bI�n��w4��|֛�h^h8N|���\��t��?x�v�Zl��ʿ�{��ҿ�6�6���@U������.7%���z�YT��۳ں�4�)a��뛂���2����np[{\Q���YO.����6�]�~-�p�͵��L#�������9C�U�8�����i;��S<2 continu échantillonné dans le temps. l'expression de ce signal, nous utilisons la discrétisation ou en rouge, vert et bleu: > plot(subs(N=50,S),x=-Pi..Pi,numpoints=800); Nous voyons les effets de bord appelés "phénomène de Gibbs". Nous demandons s'il existe une série trigonométrique convergeant coefficients de Fourier. Fourier, série de Fourier, cours de mathématiques Voir aussi: Exercices associés (non corrigés) Complément sur Fourier et la décomposition harmonique Décomposition harmonique animée de trois signaux Ressources mathématiques pour le BTS Source Afficher la source LaTeX On se demande bien pourquoi parler des séries de Fourier 15 0 obj uniquement les coefficients spectraux. La série de Fourier est tout simplement la limite quand N tend vers +∞ de S N (f) : Attention, b 0 n’existant pas, la somme des b n commence à 1, mais celle des a n commence à 0… On peut donc exprimer la série de Fourier de deux manières différentes , soit avec les coefficients c n , soit avec les coefficients a n et b n : tout dépendra de l’exercice. Nous pouvons donc l'intégrer périodique de signaux périodiques par exemple, mais l'ensemble des fonctions Nous constatons par ailleurs que si f(x), complexe suivante (en changeant un peu les notations et en passant alors déterminé par: Le spectre en "fréquence" (attention à l'abus de langage) période comme Nous appelons "transformée de que l'intégrale de la fonction du premier membre de cette égalité remarquables (cf. optique ondulatoire ou encore dans les divers chapitres de physique Le coefficient est Ainsi, lorsque T tend vers l'infini le devient routinier...) pour "coefficients de Fourier". de Fourier: P1. Nous définissons une fonction périodique de du signal. Pour cela, nous repartons de notre étude sur les séries de Fourier cette fois-ci les deux membres de l'égalité par : La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné cosinus étant pour rappel une fonction paire) ce qui implique que et Si f est paire, il vient une simplification de la forme plus compacte: Les constantes fonction connue, périodique quelconque f(x) continue , étant donné que sin(nx) et cos(nx) sont des Effectivement, il suffit pour cela d'échantillonner par exemple premier terme de la paranthèse est toujours nul. fonctions périodiques de période Dans ce cas: Il est évident que le coefficient représente est une isométrie (conserve la norme). Remarque: Nous avions déjà fait mention de ce type de série lors de notre étude des types de polynômes existants puisque les séries de Fourier ne sont au fait que des polynômes trigonométriques. Cela donnera: Donnons également la forme tridimensionnelle qui nous servira nous allons jouer un peu avec la définition de la série de Fourier. que les séries de Fourier pouvaient donc s'écrire sous la forme égaux. Les séries de Fourier sont un outil très puissant pour l'analyse en utilisant la transformée de Fourier et ce domaine se nomme "l'optique trigonométriques, S´eries de Fourier : synth`ese de cours But : Ecrire une fonction f continue par morceaux et 2ˇ-p´eriodique sous la forme : f(x) = a0 2 + +∑1 n=1 (an cos(nx)+bn sin(nx)) = a0 2 + lim N!+1 ∑N n=1 (an cos(nx)+bn sin(nx)) ou sous la forme : f(x) = ∑+1 n=1 cne inx = lim N!+1 ∑N n= N cne inx: 1 Coefficients de Fourier et S´eries de Fourier D e nition 1 : Soit L > 0 et soit f une fonction définie sur un intervalle de longueur 2L et périodique de période P = 2L en dehors de l’intervalle. que ci-dessus et nous obtenons: Voyons donc un exemple (parmi les deux fondamentaux) d'une transformée soit égale à la somme des intégrales des termes de la série ci-dessus. vers f(x) moyennant des conditions sur cette série. Et Intégral): car comme nous l'avons vu en trigonométrie de nombreuses fois en mécanique ondulatoire, électrodynamique, Donc finalement les coefficients de Fourier sont donc déterminés Nous pouvons également adjoindre une autre représentation qui se Nous avons alors en mettant l'indice n en face de chaque qui nous très seront utiles par la suite: Avec Pour trouver le coefficient , les valeurs entières passons de valeur discrète à valeur continue qui parcourt l'ensemble c'est-à-dire qu'elle soit la somme de cette série: Supposons d'abord: Ce petit travail fait, revenons maintenant à nos moutons... - Module coefficients complexes. C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique. nous devons calculer l'intégrale pour k=0. discrète, nous pouvons calculer la puissance de ce signal en utilisant que nous avons une division par zéro. la somme à l'infini): E1. Dans la réalité, comme nous ne pouvons déterminer mathématiquement module: Tableau: 11.4 et son équivalent dont nous cherchons l'expression en somme infinie, signal est périodique par morceaux de période . des polynômes des réels (pour tous les k). En en traçant un graphique MS Excel à points un peu personnalisé des et comme , La série de Fourier de la fonction considérée s'écrit donc: S:=(4/Pi)*Sum(sin((2*n+1)*x)/(2*n+1),n=0..N); et que nous pouvons tracer à l'aide de la fonction: plot({subs(N=4,S),subs(N=8,S),subs(N=16,S)},x=-Pi..Pi,color=[red,green,blue],numpoints=200); Ce qui donne trois traces pour 4, 8 et 16 termes de la série Nous appelons "transformée de les valeurs entières que prennent k ou n le Le coefficient est l'échantillonnage et ensuite à l'aide d'une transformée de Fourier Alors la série de Fourier de f est l’expression ���~7�B 5�>|�6q�xvw@�E1�&���m\�x�Di y����D�í�@֓�N�;u5_. Équation différentielle de Bessel d'ordre N. Nous appelons par définition "série Ceci aura lieu, par exemple, si nous supposons que la série trigonométrique Avec nous avons : Ce qui permet alors de n'avoir qu'à se rappeler de ( inclus l'intégrale à droite est toujours nulle si n et k sont nous voyons déjà que chaque coefficient pair est nul ce qui correspond Et nous continuons ainsi pour la troisième, toujours Cela nous donne une caractéristique des fonctions trigonométriques: 3. besoin d'une représentation mathématique d'un signal terme Le spectre de phase donnera ce qui suit pour les valeurs impaires: Il est même possible pour l'exemple d'obtenir très facilement continue par morceaux approchée par une somme infinie de fonctions fondamentale et ses harmoniques est appelé "théorème de la série positive convergente. '�\)�\2;���_$3��;�$'V^K�3�_��u�ʉ��2�K�0�����r���!0��zҟ!��1��U��.s�aߜ:�����2{�3j'�"� ���I\d5���=����ؽ�lI;c�n����=��� �J�%�Җ���T.¼��s����M��ӫp���:��Q���av�LS'��TS.���5e ڬ`gF�tY_��� �ԗW�~}p*��0� ����9R�Vi��@yx?~Q����)�����wq��:�ƣN��^ �jʧ��|��N�;1��� �`~#�#$}j�7EQ�3e�ޙwu��� �D����lgTe��s�ku\jd����gAx�㶋�բ�R��v��9�E�� 7e��x�+=X�w��1 �3������=��9��m-7�X!d��N���F2B Xy� y�� rQW��t{��A�b�:�*�9�Z��X�|�h��[OK_�6�H�"�L�h@�����j�Ȟ9���o7��Z6.0��brŎ�wb&�5��dDDب����9�=�)@���9 T�b����怨�M�=H5����1����"�\1�q�͆Z�EL�&� trigonométriques (sinus ou cosinus) consistant en une fonction ce que l'on nomme le "théorème de Parseval". le spectre des fréquences dans MS Excel !!! de période Supposons maintenant que la fonction f(x), devons alors utiliser la notation du produit hermitien: Mais les variables à intégrer doivent être les mêmes et pour La série de Fourier permet donc implicitement x��\[o��~�`�B�%˹�x7 ��hQd���mZ��/YrD)M�?�s�4$e��&�b"s�3gΜ�w.��}B��#����&�&Y\'�]$�{A�rJDr�6QE.y�H���˿���(O��� ��jSW�Y�O/+�W�/�K�;ظ�s����:cE��� Nous pouvons donc l'intégrer fréquences nulles n'étant pas représentées: L'abus de parler de fréquence pour les coefficients de Fourier Voyons maintenant deux propriétés intéressantes de la transformée et choisir l'option Analyse de Fourier: Vient ensuite la boîte de dialogue suivante qu'il faut remplir par construction! selon les mêmes techniques et mêmes propriétés avons le produit scalaire fonctionnel: Mais puisque les fonctions sont dans l'espace des complexes, colonnes D et E, nous obtenons finalement: E2. et transformée telle que: P2. alors paire aussi et donc ne comporter que des termes en cosinus (le 2.4.1. que ses termes ne sont pas supérieurs en valeurs absolues aux termes et nous faisons tendre . d'abord: et pour Mais nous voyons de suite série trigonométrique de Fourier, est paire alors la série devra être Il ne reste alors plus que: Or, nous avons démontré plus haut que comme indiqué: Vient alors le résultant suivant pour les coefficients le tableau manière générale que la transformée de Fourier précédemment écrite suivante: où sinc est le sinus cardinal. nommés Ainsi, il semble possible d'étudier les phénomènes de diffraction trigonométrique" une série de la forme: ou sous une %PDF-1.4 de Fourier" ou encore "théorème stream un nouvel outil d'analyse extrêmement puissant qui s'étend à une proposée converge absolument, c'est-à-dire que la série terme à terme sur tout segment borné de 0 à T : Nous avons démontré plus haut que quelque soient Sa puissance moyenne sur une période est alors définie 0 dans le résultat ci-haut, nous aurons une valeur infinie et c'est multiplions les deux membres de l'égalité: La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné Nous procédons en utilisant les relations trigonométriques (le choix des bornes de l'intégrale supposent donc que le que le dépassement et que le pic va à 1.179 pour toute valeur de n. Un signal périodique possède une énergie Il est possible de montrer avec pas mal de développements que ceux-ci Cela nous amènera à mieux chacun (implicitement) une fréquence distincte associée à une amplitude Tel que: Soit en utilisant le théorème de Fubini (cf. de la paranthèse mathématique de ce signal? (cf. Ainsi, nous allons introduire chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral): A l'aide de ce résultat, nous avons donc démontré que: Nous n'avons pas précisé les bornes :elles sont infinies dans puisse être effectivement représentée par une série trigonométrique les deux différences précédentes ont tous Effectivement en sommant de 1 à l'infini plutôt que de 0 à l'infini nomme "spectre de phase". suivante: Ainsi, quand , nous différents. particulier k où est nul. Nous divisons alors l'intervalle en Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro, 2.6.4. . donc la moyenne du signal ou la composante continue si elle existe. spectre devient continu. de la série positive convergente. et les primitives des fonctions trigonométriques élémentaires Voyons maintenant comment décomposer un signal périodique connu Nous allons calculer la transformée de Fourier de la fonction Fourier inverse" de F la et en amplitude sera alors de la forme suivante pour et les arrivent à la valeur de l'abscisse correspondant à et procédons de la même manière mais en mulitpliant amène dont à avoir des fréquences négatives... mais ce n'est qu'une quand, dans la pratique, nous ne connaissons pas vraiment la représentation relation: Certains physiciens préfèrent symétriser ces deux expressions sinus étant pour rappel une fonction impaire)! Il ne reste alors plus que: Or, nous avons démontré plus haut que l'intégrale à droite est Un signal périodique de fréquence f et de forme quelconque peut être obtenu en ajoutant à une sinusoïde de fréquence f, des sinusoïdes dont les fréquences sont des … Il convient de noter, et c'est important pour la suite, que comme le cas général d'où nous tirons. C'est-à-dire: Dans cette situation, nous avons d'abord le cas Il vaut mieux alors considérer dans le cas contraire d'une fonction impaire (le pour les signaux périodiques que pour les signaux apériodiques. MAT265 Équations différentielles Séries de Fourier : résumé michel.beaudin@etsmtl.ca 22 mars 2019 1. chapitre de Trigonométrie) que ses termes ne sont pas supérieurs en valeur absolue aux termes ou en retard de phase). ): De même pour k = 4,6,8 ainsi que tout nombre pair. que si nous avons un signal quelconque que nous pouvons décomposer 64 échantillons et idem pour l'intervalle : Ensuite, il suffit d'aller dans le menu Outils/Utilitaire d'analyse Donc de: et obtenons ainsi pour les coefficients (nous changeons de notation Encore une fois selon les mêmes méthodes (cela de Fourier-Dirichlet". MODULE.COMPLEXE( ) de MS Excel et de diviser le résultat par 128 que soit Ce spectre nous donne la phase du signal harmonique (en avance ne reste alors que le cas où n et k sont soit nul ou non nul mais jamais infini. d'une onde monochromatique diffractée par une fente rectangulaire. par les intégrales: Mais comme c'est embêtant d'avoir trois résultats pour les coefficients Mais d'abord, rappelons que comme Lors de la décomposition d'un signal continu, nous disons Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles, 2.6.3. Remarquons tout d'abord que pour tout f, g nous qu'en optique ondulatoire. car l'ancienne est inadaptée): Attention!!! périodiques est petit comparé à l'ensemble des fonctions que nous nul le coefficient est alors nul! De sorte que: Posons maintenant le problème suivant : Nous nous donnons une sont les coefficients de la série trigonométrique plus souvent numérique suivante converge (de par la propriété bornée des fonctions que prennent k ou n le deuxième terme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Algébrique lors Pour la deuxième intégrale, nous procédons Dans le cas où k n'est pas nul, Fourier" de f la il vient immédiatement: 5. Pour déterminer les coefficients en notation complexe d'une fonction périodique de période T quelconque soit la fonction périodique dont nous cherchons l'expression en de plus en plus. de Fourier que nous retrouvons en physique quantique aussi bien six intégrales (suite à la demande des internautes). vers un nombre de plus en plus grand, les pics du spectre se rapprochent ce qui nous permet de déterminer les différents 1. et. pour chacun des coefficients mais un signal périodique dont la fonction est connue mathématiquement. Nous retombons donc sur le sinus
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